Studiował trzy kierunki – malarstwo, polonistykę i reżyserię, ostatecznie uwiódł go film, choć niejeden raz miał sięgnąć do literatury, by przenieść jej fabuły na ekran. W 1980 roku razem z Jerzym Gruzą wyreżyserował film muzyczny w koprodukcji polsko-belgijsko-brytyjskiej Alicja, oparty na motywach powieści Lewisa Carolla; trzydzieści lat później zekranizował bestsellerową powieść Zygmunta Miłoszewskiego Uwikłanie. W międzyczasie były nagradzane w Polsce i za granicą filmy telewizyjne, jak Ceremonia pogrzebowa (nagroda za debiut na FPPF w Gdańsku w 1985) i seriale (Kuchnia polska), produkcje sensacyjne (Zabij mnie glino, Anatomia zła), liczne komedie (Sztuka kochania, nakręcona w założonym wspólnie z Juliuszem Machulskim i Jackiem Moczydłowski Zespole Filmowym „Zebra”, Dzieci i ryby, To ja złodziej, Kariera Nikosia Dyzmy, ogromnie popularna podlaska trylogia: U Pana Boga za piecem, U Pana Boga w ogródku i U Pana Boga za miedzą, nagrodzony na festiwalu w Chinach). Bromski kręcił również pierwszą polsko-chińską produkcję Kochankowie Roku Tygrysa (2005).
Od roku 1996 nieprzerwanie pełni funkcję prezesa Stowarzyszenia Filmowców Polskich. Aktywnie zaangażowany w działania Międzynarodowego Stowarzyszenia Autorów Filmowych, World Cinema Alliance (Alliance Mondiale du Cinema), Krajowej Izby Producentów Audiowizualnych (KIPA), Rady Polskiego Instytutu Sztuki Filmowej. Członek Europejskiej Akademii Filmowej (EFA). Od roku 2015 członek Narodowej Rady Rozwoju przy Prezydencie RP. Odznaczony Srebrnym Medalem „Zasłużony Kulturze – Gloria Artis” (2005).